Espacios de Sobolev y formulación variacional del problema de contorno en dimension uno

Abstract

El estudio de espacios de funciones (de una o más variables reales) que tienen especificidad pro piedades de diferenciación: los célebres espacios de Sobolev, que se encuentran en el corazón de la teoría moderna de las ecuación en derivadas parciales (EDP). Muestra cómo se pueden aplicar los resultados abstractos del Análisis Funcional para resolver EDP. Los espacios de Sobolev ocurren en una amplia gama de preguntas, tanto en matemáticas aplicadas. Aparecen en EDP lineales y no li neales que surgen, por ejemplo, en geometría diferencial, análisis armónico, ingeniería, mecánica y física. Pertenecen a la caja de herramientas de cualquier estudiante de posgrado en análisis. Desafor tunadamente, Análisis Funcional y EDP a menudo se imparten en cursos separados, aunque están íntimamente conectados. Muchas preguntas abordadas en Análisis Funcional se originaron en EDP (por una perspectiva histórica, ver, por ejemplo, J. Dieudonné [1] y H. Brezis – F. Navegador [1]). Hay una gran cantidad de libros (incluso tratados voluminosos) dedicados al Análisis Funcional. Allí también hay numerosos libros de texto que tratan sobre EDP. Sin embargo, una presentación sintética destinado a estudiantes es raro, y he tratado de llenar este vacío. Estudiantes que a menudo están fascinados por las construcciones más abstractas de las matemáticas. atraído por la elegancia de Aná lisis Funcional. Por otro lado, son repelidos por la interminable fórmulas EDP con sus innumerables subíndices. He intentado presentar una transición "suave" del Análisis Funcional a EDP analizando primero el caso simple unidimensional EDP (es decir, EDO, ecuaciones diferenciales ordinarias), que parece mucho más manejable para el principiante. En este enfoque, expongo técnicas que son posi blemente demasiado sofisticadas para las EDO, pero que luego se convertirán en las piedras angulares de la teoría EDP.