Teorema de Kalmar a partir de un enfoque algebraico de todos los teoremas de completitud e incompletitud de Gödel

Abstract

Los teoremas que se profundizan en el presente trabajo, son los dos teoremas de Kurt Gödel (1906-1978) primero el de Completitud para el Cálculo de Predicados de Primer Orden y segundo el de Incompletitud en Sistemas Axiomáticos, con el objetivo final de llegar a una consecuencia genérica de este último, debida a Kalmar, de esta manera se exhibirá el enfoque algebraico, sustentando la demostración de estos teoremas. En particular, el Teorema de Incompletitud de Gödel es uno de los resultados fundamentales de la Lógica Matemática de mediados del siglo XX (1930-1931), que inclusive fue considerado como \La verdad matemática más importante del siglo". Para la exposición de los teoremas se pueden tomar varios caminos, de ellos el enfoque más interesante es el algebraico. Usando resultados del Álgebra Universal para construir una base puramente algebraica de la Lógica Matemática, desde el Cálculo Proposicional hasta las Teorías Axiomáticas de Primer Orden, las funciones recursivas y el Teorema de Incompletitud de Gödel. En el contexto del trabajo, el Teorema de Completitud de Gödel se resume a lo siguiente: \En el Cálculo de Predicados Pred(V;R), una proposición es una conclusión de un subconjunto de Pred(V;R) si y solo si se puede deducir del mismo subconjunto". El Teorema de Incompletitud de Gödel señala que \Cualquier teoría efectivamente axiomatizada que admita a los Naturales como modelo, es incompleta". Finalmente resumimos el teorema de Kalmar: \Si el Cálculo de Predicados Pred(V;R) contiene relaciones al menos binarias, es Indecidible." La construcción de estos resultados se fundamenta en dfiniciones completamente algebraicas, el Teorema de Completitud de Gödel con base en el Cálculo de Predicados y el Teorema de Incompletitud de Gödel en un contexto general de Teorías Matemáticas de Primer Orden y Máquinas de Turing, también definidas algebraicamente. El Teorema de Kalmar es una consecuencia del Teorema de Church, en base al Teorema de Incompletitud de Gödel.