Probabilidad de conmutatividad de grupos finitos

Abstract

El estudio de la teoría de grupos, subgrupos, grupos cocientes y homomorfismos entre grupos ya sean finitos o infinitos es un área amplia y rica en teoría. El trabajo desarrollado a continuación toma como campo de estudio los grupos finitos y lo relaciona con el tema de probabilidad; donde estudiamos el número de casos favorables a un evento determinado, entre el número de casos posibles. Una pregunta bastante natural es: ¿Cu´al es la probabilidad de que dos elementos tomados al azar de un grupo finito conmuten? Partiendo de esta cuestión analizaremos la probabilidad de conmutatividad o grado de conmutatividad de grupos específicos como ser el grupo Diedrico, entre otros, que desarrollaremos en el primer capítulo. Luego en el segundo capítulo de manera general, determinamos una formula mediante la relación de equivalencia dada por la conjugación, y su número de clases de equivalencia; además generamos propiedades para grupos específicos como ser el grado de conmutatividad de subgrupos, grado de conmutatividad de un producto cartesiano, entre otros. Este segundo mencionado nos servir´a para determinar más grados de conmutatividad. En el tercer capítulo determinaremos cotas, pues la probabilidad que suceda un hecho determinado está ubicada en el intervalo (0, 1]; en nuestro caso, 1 es el grado de conmutatividad de grupos abelianos, y por el contrario, mostraremos que se puede hallar grupos cuyos grados de conmutatividad se acercan tanto a 0 como queramos. En cuanto a las cotas, determinaremos la cota superior 5/8 como un límite para grupos no abelianos en general; también analizaremos las p-cotas, que es una relación entre números primos y el grado de III IV conmutatividad de un grupo dado, hallando cotas superiores e inferiores generadas por números primos. Por último, en el cuarto capítulo, desarrollaremos la probabilidad de conmutatividad de los grupos nilpotentes y los grupos solubles que son un caso especial pues son casi abelianos, determinaremos que tan conmutativos pueden ser.