Análisis matemático cualitativo del modelo SIR epidemiológico

Abstract

El interés principal del desarrollo de modelos matemáticos de enfermedades son las posibilidades de pronóstico, control e incluso erradicación de enfermedades, es por esta razón que se realiza el presente trabajo, ya que la aplicación de experimentos con controles en la epidemiología son difíciles o imposibles de diseñar, además de que surgen serias cuestiones éticas. De este modo, el presente trabajo tiene el objetivo de analizar el comportamiento cualitativo del modelo SIR epidemiológico y el modelo SIR epidemiológico con vacunación, con el fin de conocer el comportamiento de una enfermedad, y saber qué factores influyen para que la enfermedad desaparezca. Para iniciar, se elabora un marco teórico, el cual es la base para el análisis cualitativo de los modelos. En él se revisan, los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios, se estudia la existencia y unicidad de sus soluciones. Posteriormente, se estudia la estabilidad del punto de equilibrio de los sistemas de ecuaciones diferenciales a través de sus autovalores o por una Función de Liapunov. Después, se da paso al planteamiento del modelo S.I.R. epidémico y del modelo S.I.R epidémico con vacunación, las cuales son descritas mediante sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales homogéneos, donde a través del estudio de sus puntos de equilibrio, se establece la estabilidad bajo ciertas condiciones, en el caso del primer modelo se establece su estabilidad por medio de una Función de Liapunov y para el segundo modelo por medio de sus autovalores. Además, durante el avance del trabajo, se observa que el modelo S.I.R. epidémico y el modelo S.I.R epidémico con vacunación son extensiones de los modelos S.I. y S.I.S.. Por otro lado, se observa también que el comportamiento de la enfermedad a través del modelo depende de un parámetro, que es el número básico de reproducción R0. Este parámetro es de mucha utilidad, ya que nos da información de sí la enfermedad permanece, convirtiéndose en una endemia o desaparece. En consecuencia, se logra observar el comportamiento de la enfermedad y se estima cuando la enfermedad desaparece o se propaga, además de saber bajo qué circunstancias se da el número máximo de infecciosos.