Variantes de criptosistemas de clave pública basados en isomorfismos de grupos

Abstract

Algunos criptosistemas de clave pública como ElGamal y el criptosistema basado en el dlp propuesto por Kumar K, Kumar S. y Banerjee (2006) basan su seguridad en el "problema del logaritmo discreto"(dlp), es decir, en la dificultad de resolver la ecuación en , donde es un elemento cualquiera y es un generador de . Existen varios algoritmos para resolver dicha ecuación, sin embargo, ninguno tiene una complejidad temporal polinomial en el tamaño de sus entradas, a pesar de ello, nos preguntamos si será posible aumentar aún más la dificultad de resolución de una ecuación de ese tipo (en el contexto de los criptosistemas) pero sin aumentar el tamaño de p, ni imponerle restricciones adicionales a las ya existentes, éste es el problema inicial que se abordará en la presente tesis, el cual se resolvió de la forma siguiente: Primero, proponer un cambio de operación binaria en a una, denotada por , que se construya a partir de la ya existente (para aprovechar la aritmética subyacente), tal que y que dependa de un solo parámetro, pues si la nueva operación depende de un solo parámetro (un elemento de ), entonces dicho elemento puede ser la clave secreta intercambiada por el protocolo de cambio de claves de Diffie -Hellman en por los usuarios participantes y así tener la ecuación en , donde f es el isomorfismo entre ambos grupos y es un generador de pero ahora es desconocido para el enemigo criptoanalista por lo cual no sabrá como operar los elementos de este nuevo grupo y por tanto no podrá resolver esta ecuación hasta que determine . Un segundo problema es ¿cómo adecuar los criptosistemas considerados de modo tal que su seguridad esté basada en la doble dificultad de la nueva ecuación propuesta?. La solución propuesta consiste definir estos criptosistemas sobre lo cual hace posible ocultar la operación de los grupos subyacentes y así lograr una mayor dificultad en su criptoanálisis.